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第311章 埃尔米特多项式阿佩尔方程（第1页）
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弓箭手悖论是射术里最有意思的现象之一了。在射箭的时候，普通人下意识的反应应该是拿箭对准目标。但实际上，正常的弓箭手在射箭时箭头所指的延长线并没有经过目标。而箭头指向目标的射法，肯定会打偏。这就是弓箭手悖论。
英国史上最强弓箭手HoraceFord是第一个注意到弓箭手悖论这个现象，并且记录下来的人。但是弓箭手悖论直到20世纪40年代才得到解答。
简单来说，在用传统的弓射箭时，要瞄准目标的并不是箭头，而是箭的波节，也就是它射出后左右振动的弦上的不动点。这两个波节的连线必须直插目标，否则就无法打中靶心。
箭在空中飞行时会左右振动，两个不动点为波节。
许多人会感到奇怪，箭不是咻一下笔直射出的吗，怎么会振动呢？
啊哈，箭并不是严格的刚体，被射出的时候它会被掰弯，这就直接导致了它的飞行振动模式。
1938年，被称为科学弓箭术之父的发明家、美国人ClarenceN.Hickman用了一个4000FPS的相机拍摄了箭在飞行时的画面，搞明白了箭振动的过程。
原来在飞行的时候，箭就像一条蛇，会左摇右摆，一边振动一边前进。而开弓后，箭头和箭身会机智地绕过弓把转弯，不会和弓发生摩擦。
虽然箭会摇头晃脑，但是箭身上有两个点并不会左右晃动，那就是波节。更有趣的是，波节的连线直指箭最终的位置。换句话说，只要让箭的波节和目标对线，就能射中。
所以问题的关键就在于如何让箭左右振动，以及如何寻找波节了。
其实，箭飞行时的左右振动是射手手指和弦摩擦的结果。
具体来说，在拉弓的时候，箭并没有扭曲，这种扭曲是手指释放弓弦时的摩擦产生的。
以西方常见的地中海式开弓法为例，这种射法是用右手三根手指拉弦，箭放在弓把左边。左撇子的话左手三根手指拉弦，箭放右边。
此外，因为一根手指拉弓的关系，拇指很容易被擦破皮，所以我国人民从先秦开始就有手指戴韘（shè）的传统，到了清朝这玩意儿就叫做扳指，满语叫“憨得憨”，用的时候是这样的——
总而言之，手指产生了正确方向的摩擦，才能使箭振动，同时产生瞄准目标的两个波节。而在发射前，预判这两个波节到底在哪里，就要靠射手的技术和手感了。
从技术上来说，箭的振动以及波节的位置取决于箭的质量分布和挠度（箭的弹性），以及弓的张弓拉力和拉距。同一把弓，换一根箭射，波节就会发生变化。所以即便是老手，随手抓起一根箭也不能一次射准。
在古代，箭和弓的匹配主要靠人体智能，到了20世纪，这就是数学的事了。
考古学家和历史学家就靠弓箭的数学建模估算古代的冷兵器的量级。说个著名的例子。依靠弓箭数学模型，一些人提出，在1415年英法百年战争期间使用的60克的箭搭配的是张弓拉力超过450牛顿的弓。
振动的箭有更大的迎风面积，受到的空气阻力更大。
弄明白了箭的物理原理后，Hickman改良了传统的弓，发明了从中间放箭的弓（centre-shotbow）。这类弓射箭时不再有明显的弓箭手悖论，张弓时箭头甚至可以直指目标。
但是现代的弓箭在射出的时候，箭本身依然会左右振动，导致箭产生偏移。所以现代的弓上装有箭震吸收器，吸收箭一开始的振动。
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